讀史使人明智,讀詩使人靈秀,數學使人周密,科學使人深刻,倫理學使人莊重,邏輯修辭使人善辯,凡有所學,皆成性格。

——培根

坤鵬論:為什么股市里投1萬 一年后變成了1.95元-自媒體|坤鵬論

坤鵬論隨著不斷展開的多學科學習,終于開始觸摸以前最不愿意多看的數學。

硬著頭皮啃了一段時間,深刻地感受到了數學之美,以及不懂點數學的愚昧。

比如:有人用數學公式告訴你,投1萬進股市,一年時間內變成100萬,而且隨便你演算,結果真的是這樣。

但是,投1萬進股市,還有可能最終變成了1塊9毛5,你信也不信?

并且,同樣有數學公式為證!

這就是數學的奧妙,不同的計算公式,都不存在半點虛假和浮夸,真就能出現如此天壤之別的差距。

這不禁讓坤鵬論想起一位朋友曾抱怨的事,他的父親炒股,十幾萬炒著炒著就剩幾千塊了。

原來不甚理解,因為就算頻繁交易會產生出乎意料的手續費和稅費,但怎么會虧得如此之慘呢!

自從看了幾本數學家寫的股市相關圖書后,比如:《財富公式》、《數學家妙談股市》等(感謝數學家,以下有的實例就來自他們),坤鵬論的腦洞算是又打開了新的天地,雖然因為數學功底不夠好,但依然震撼不已。

今天,就讓坤鵬論帶大家一起尋找上面這些現實的數學答案吧!

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一、從圣彼得堡賭注談起

Long long ago,18世紀,故事發生在那個令人膽顫的瑞士數學家族——伯努利家族。

每每聊起這個家族,坤鵬論總有種目眩神迷的感覺,因為它堪稱有史以來的科學界神話,三代人中出了8位科學家,出類拔萃的至少有3位;而在他們一代又一代的眾多子孫中,至少有一半相繼成為杰出人物。

伯努利家族的后裔有不少于120位被人們系統地追溯過,他們在數學、科學、技術、工程乃至法律、管理、文學、藝術等方面享有名望,有的甚至聲名顯赫。

最不可思議的是這個家族中有兩代人,他們中的大多數是數學家,而且,人家還都不是有意選擇數學為職業,完全是一見鐘情般地沉溺于數學,有人調侃他們就像酒鬼碰到了烈酒。

這才是實至名歸的外星人家族!

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話說在這個家族中有個叫丹尼爾·伯努利的小伙,他的叔叔就是鼎鼎大名的、發現大數法則的雅各布·伯努利,而他的父親叫約翰·伯努利。

其實,約翰和雅各布一樣聰明,而且兩個人都喜歡吹牛,就像雅各布覺得自己和牛頓不相上下一樣,約翰也堅持認為自己不比哥哥雅各布差。

這簡直就是瑞士版的既生瑜何生亮!

兩兄弟經常會對一個問題進行競爭性地研究,俗稱學術掐架,并且還在媒體上無情地攻擊對方,讓全天下圍觀。

因為實在無法超越雅各布,約翰的怨恨越積越深,心態扭曲,最后甚至發泄到了他的兒子丹尼爾身上。

丹尼爾也是一位數學家,同時還精通物理學,他曾出過一本很著名的書,對賭場的法羅牌游戲進行分析,發現了“伯努利效應”,后來被運用到了飛機機翼的設計中。

1734年,約翰和丹尼爾共同分享了一項法國科學院獎,對于和兒子一起獲獎,約翰的顏面實在無光,他認為這個獎項是自己獨得才對。

惱怒之下,丹尼爾被趕出家門。

來自約翰老爸的妒嫉還有個實例,1738年,丹尼爾出了一部關于流體力學的書,結果第二年,他父親也出了一本內容幾乎完全相同的書,不僅署了自己的名字,還把時間改到了1732年,然后公開聲稱兒子剽竊了老子的作品。

攤上這樣的父親,丹尼爾郁悶至極,不得不跑到遙遠的圣彼得堡工作,眼不見為凈。

在那里,他為西化的俄羅斯法庭工作,并寫了一篇對后世經濟學以及投資影響深遠的文章。

這篇文章提到了一個虛擬的賭注,它是由另外一名伯努利家族的天才、丹尼爾的表兄尼古拉斯設計的。

這個賭注涉及到一個翻倍的擲硬幣游戲:

假設擲出正面為成功,游戲者如果第一次投擲成功,得獎金2元,游戲結束;

第一次如果不成功,無任何代價,繼續投擲,第二次成功得獎金4元,游戲結束;

這樣,游戲者如果投擲不成功就反復繼續投擲,直到成功,游戲結束。

如果第n次投擲成功,得獎金 2^n元(2的n次方),游戲結束。

舉個實際的例子更好理解:

假設你出1元錢參加這游戲。

第1次擲出正面,你得2元獎金,游戲結束,你凈賺1元,收益率100%;

但是,你前9次擲出的都是反面,第10次才擲出正面,獎金是2的10次方,即1024元,你凈賺1023元,收益率102300%;

如果你幸運地在前19次擲出的都是反面,第20次才擲出正面,恭喜你發了筆小財,獎金104萬8576元;

如果你足夠足夠足夠幸運,前49次擲出都是反面,第50次擲出正面……

獎金超過112萬億!

注意是萬億!

地球首富非你莫屬!

你可能認為,這么好玩的游戲別說拿1元參與,1000元也值!

好吧,我們就來看看花1000元參與會發生什么:

第1次擲出正面,你獲得2元獎金,虧損998元,收益率-99.8%,游戲結束!

其他情況,第2、3、4、5、6、7、8、9次擲出正面,獎金分別是4、8、16、32、64、128、256、512,游戲結束。

以上9種情況(包含第1次擲出正面),相當于你1000元的參與費,但都會以虧損結束,而出現上述任意一種情況的概率之和超99.8%,也就是說你付出1000元參與,最后能賺錢的概率不到0.002%。

這個游戲看似潛在的收益無窮(期望值正無窮大,關于期望值是啥,老鐵往下看),實際上只是個極小概率暴富的游戲,小得都不值得你去計算。

首先,你付太多參與費,連保本都艱難,所以你只能不停地試,那么就得有足夠多的賭本;

其次,現實中也沒有人能夠出得起這么高的獎金。

丹尼爾在他的文章中這樣寫道:

“雖然標準計算顯示期望值可以無窮大,但是,我們要承認任何足夠理性的人都會很高興地以20達卡(注:貨幣名稱)的價格把這個機會賣掉。事實上,雖然人們認可這個計算方式的結果,贏的機會無窮大,但是沒有人會愿意出高價來購買。”

丹尼爾用俄語發表了他的文章,這個賭注就被叫作“圣彼得堡賭注”或“圣彼得堡悖論”。

有人說,這個賭博游戲是圣彼得堡那嘎達人玩的,是大錯特錯!

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丹尼爾由“圣彼得堡悖論”引發的思考與成果,對于后世經濟學貢獻極大,凱恩斯在1921年發表的《概率論》中提到,它是每一位20世紀經濟學的精神大廈的組成部分。

都有哪些貢獻呢?讓坤鵬論來數一數。

1.效用

相信在現實中,沒有誰擁有無限的財富,所以圣彼得堡賭注這樣的游戲不可能出現。

但是,哲學家、數學家、經濟學家中就有較真兒的人,要不怎么說,只有偏執狂才能成功,他們認為,可以假定有人擁有無限財富,而且愿意玩這個游戲。

丹尼爾也認為會有這樣的人,他提出了另外一個解釋,對于未來的經濟學思想影響深遠,他把錢和人們賦予錢的價值分開。

對于億萬富翁來說,1000美元就像零花錢,而對于乞丐,1000美元則是一筆不小的財富。

所以,獲利(或損失)的價值取決于這個人本身已有的資產是多少。

丹尼爾真正的貢獻就在于他因此而創造了一個詞匯,在英文中這個詞被譯為“utility”,中文意思為“效用”。

它可以用來描述人們賦予錢的主觀價值。

丹尼爾稱,人們本能地會選擇爭取最大的效用,而不一定是最多數目的錢。

大多數情況下,富人心目中的1000美元的價值要低于窮人心目中對這筆錢的價值認定。

“任何財富的小幅度增長所帶來的效用和之前擁有的財物數量成反比。”

比如:你朋友的財富是你的兩倍,那么他贏了100元后,其喜悅可能只有你的一半。

同理,當他丟了100元后,其心疼度也只有你的一半。

再比如:當你在賭場贏了100萬后,第二次再贏100萬的話,你的欣喜只有第一次的一半。

2.算出每個人的幸福值

這里先普及一個數學期望的概念。

17世紀,有個賭徒向法國著名數學家帕斯卡挑戰,給他出了一道難題:甲乙兩個人賭博,他們兩人獲勝的機率相等,比賽規則是先勝三局者為贏家,一共進行五局,贏家可以獲得100法郎的獎勵。

當比賽進行到第四局的時候,甲勝了兩局,乙勝了一局,這時由于某些原因中止了比賽,那么如何分配這100法郎才比較公平?

用概率論的知識,不難得知,甲獲勝的可能性大,乙獲勝的可能性小。

因為,甲輸掉后兩局的可能性只有(1/2)×(1/2)=1/4,也就是說甲贏得后兩局的概率為1-(1/4)=3/4,甲有75%的期望獲得100法郎;

而乙期望贏得100法郎就得在后兩局均擊敗甲,乙連續贏得后兩局的概率為(1/2)*(1/2)=1/4,即乙有25%的期望獲得100法郎獎金。

可見,雖然不能再進行比賽,但依據上述可能性推斷,甲乙雙方最終勝利的客觀期望分別為75%和25%,因此甲應分得獎金的100*75%=75(法郎),乙應分得獎金的的100×25%=25(法郎)。

這個故事里出現了“期望”這個詞,數學期望由此而來。

有老鐵看這故事有點眼熟,是的,之前坤鵬論曾在《為什么賭場可以永遠贏 為什么十賭九輸》講過,那里面的故事算是正史,而這里的是后人演繹過的,但坤鵬論覺得更好理解些。

在概率論和統計學中,數學期望(mean)(或均值,亦簡稱期望)是試驗中每次可能結果的概率乘以其結果的總和,是最基本的數學特征之一。

它反映隨機變量平均取值的大小。

需要注意的是,期望值并不一定等同于常識中的“期望”——“期望值”也許與每一個結果都不相等,期望值是該變量輸出值的平均數,期望值并不一定包含于變量的輸出值集合里。

既然丹尼爾發現了“任何財富的小幅度增長所帶來的效用和之前擁有的財物數量成反比”,那么只要知道擁有的財物數量,就可以算出多少財富的增長能帶來多少的效用,其實就是算出一個人的數學期望值。

另外,需要注意的是,效用會隨著財富增長而呈現逐漸縮小的趨勢。

如果畫一張效用和財富的關系圖,呈現的是如下面那樣的曲線圖,而該圖表現出了對數功能,所以伯努利的這個發現也被稱為對數效用,同樣,也是一個迷死后世不少科學家的東東。

不過,后來也有人認為,這個對數效用從心理學角度看來,是不現實的,尤其是處于極端富有的情況下。

所以,要給效用設置個上限,被稱為“幸福水平”,也就是算一下你需要多少錢可以滿足你所有物質需求或欲望,那些錢,或相應的效用,就是幸福水平。

但是,坤鵬論認為,這一樣不合理,因為老話說了:人的欲望無止境,總是這山望著那山高。

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二、投資要用幾何平均數衡量

1738年,丹尼爾用俄語寫了一篇名為《有關衡量風險的新理論說明》的論文。

論文中并沒有過多講述圣彼得堡賭注或效用等問題,甚至它們都只在附加部分被提了一下,該論文主要討論的是風險投資應該由幾何平均數的結果來衡量。

上學的時候,我們其實都知道有兩種平均數。

算術平均數:比較平淡的那一種,把數字都累加起來,然后除以它們的總數,就能得到算術平均數。

幾何平均數:大多數人在中學畢業后就把它又交還給老師了,它的計算方法是將一系列(n)的數字相乘,然后計算這個數字的n次方根。

現實中,大多數人都會盡量避免計算n次方根,無它,麻煩!

所以幾何平均數一般都是統計學家們在使用。

不管是算術平均數還是幾何平均數,它們的意義在于使生活簡單化,特別是數據量非常大的時候,我們只要記得一個平均數就能對某件事進行直觀地權衡,比如:某個籃球運動員的投球命中率,一個算術平均數就會對其能力闡述得很清楚,而且幾個球員的平均數放在一起,一眼就能分出高下。

那什么時候需要計算幾何平均數呢?

丹尼爾從賭博開始談起,如果用算術平均數來計算賭注的期望值,考慮兩種出現概率相同的結果,“公平”的賭注,其最終得數應當為零,比如:把10萬元賭注下到拋起的硬幣,和你旁邊的人賭正反面,他下的賭注和你一樣多,最終結果無非是你得到兩倍的賭資——20萬元,或者你變得一無所有。

用算術平均數來計算期望值的話,應該是(20萬+0萬)/2=10萬,這樣話,這個賭注是沒有意義的,你現在已經有了10萬,硬幣拋出后,你或許再拿一個10萬,或者損失10萬。

從風險的角度看,贏得兩倍的資產和變得一無所有相比,變得一無所有會讓你損失更大。

咱們再用幾何平均數的方式來計算一下賭注的期望值,將兩個同時存在的可能數值相乘÷20萬元×0元,然后計算平方根。

因為零和任何數相乘其結果都為零,所以幾何平均值得出的是零,這就是賭注真正價值,所以你不應該將10萬元的凈資產投在這上面。

幾何平均值一般都會小于算術平均值,只有當所有數值都相等,兩個平均數才會相等,這就說明,在評估風險問題時,幾何平均數要更為保守一些。

丹尼爾相信這種保守主義更符合人們對風險的排斥態度。

由于在風險投資中,幾何平均數總是小于算術平均數,“公平的”賭注事實上是不受歡迎的,丹尼爾認為,這是“自然的警告,讓人們遠離賭博。”

在他看來,只有當優勢偏向于某一個人的時候,這樣的賭注才有意義,或者是參賭的人之間財富實力不同,賭注才有價值。

丹尼爾在其論文中提到了一位圣彼得堡商人,他搞的是國際貿易,通過海上運輸進貨,這其實也是一種賭博行為,因為船有沉沒的風險,商人就要面臨是否購買保險的選擇。

如果通過算術平均數計算,保險不是很理想的賭注,但是,如果這名商人的財富實力不強,他就應該通過購買保險來提高自己的幾何平均值,即使保金的價格很高。

丹尼爾認為,理智的人會爭取最大化的幾何平均數,雖然他們自己可能并沒有意識到這一點。

“因為我們所有的假設都會以我們的經驗為依據,我們不能拋開經驗,而僅僅憑我們的猜測來行事。”

丹尼爾倡導的幾何平均數和后來約翰·凱利的凱利公式有著密切聯系,甚至可以把凱利的解決方案看作是丹尼爾這個簡單定律的重述:

當我們面臨下賭注或投資的選擇時,應該選擇那個幾何平均數最高的。

當然,丹尼爾的結論明顯比計算賭博“優勢/概率”的凱利公式應用范圍更為廣泛。

那么,凱利是不是剽竊了丹尼爾的成果呢?

這個很難確定,但可以肯定的是,丹尼爾的這篇論文直到1954年1月,才被翻譯成英文在《計量經濟學》中發表。

而且,凱利也沒有提到過丹尼爾,同時他是一名通訊方面的科學家,讀過《計量經濟學》的可能性也不大。

另外,丹尼爾的功勞還在于開辟了投資組合的新思路,與如火如荼的馬科維茨的現代投資組合理論相比,算是另一條蹊徑,20世紀一位美國學者對此進行了繼承,這是后話,坤鵬論未來會詳細講一講。

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三、投1萬為什么最后可能剩1.95元

首先我們要了解兩個算收益率的數學公式,這是后面內容的基礎,不要擔心,很簡單。

假設有N個不同的收益率:

算術平均數的平均收益率:N個不同收益率的總和除以N。

幾何平均數的平均收益率:[(1+第一個收益率)]×(1+第二個收益率)×(1+第三個收益率)×……×(1+第N個收益率)],然后求這個乘積的N次方根減去1。

還是以實例進行講解。

假設有這樣一個投資計劃,每周一早上購買一只股票并且在同一周的周五下午將其售出。

在這一周大約一半的時間內你會獲得80%的收益率,在其他一半的時間里,你則會虧損60%。

注意:賺和虧的時間不確定,不管周五是虧還是賺,都要賣出。

先請算術平均數上陣:[80%+(-60%)]/2=10%。

每周獲得10%的收益率,那相當相當厲害,在復利的強大加持下,一年以后,你最初投入的1萬元將會變得比140萬還多。

二請幾何平均數前來:[(1+80%)×(1-60%)],用乘積的平方根減去1,也就是(1.8×0.4)的平方根減1,最后得-0.15。

這說明,每周你會損失大約你投資額的15%,同樣相當相當厲害,在負復利的強大加持下,一年以后,你的1萬塊,變成了1.95元。

聰明的老鐵可能已經意識到,在一年的26周中,投資會上漲80%,而在另外26周,則會下跌60%。

如果采取同樣的策略,遇到只剩1.95元這樣結果的投資者會有一多半。

為了計算方便,扣除了每次交易所產生的稅費和手續費,如果加上它們,可能不用一年,你的錢就所剩無幾了。

怎么會有如此巨大的差距呢?

并且反復觀瞧,再三演算,兩個數學公式都沒有任何錯誤。

讓我們繼續探究,見微知著,只看看在最初的兩周里,這1萬元到底發生了什么。

總共存在以下4種可能:

可能1:兩周內都獲利

投資者獲得1.8×1.8的獲利,也就是3.24倍,1萬元變成了32400元。

可能2:第一周獲利,第二周虧損

投資者的資金發生了1.8×0.4的變化,也就是0.72倍,1萬元變成了7200元。

可能3:第一周虧損,第二周獲利

這個和上面的情況相同,也就是0.4×1.8,1萬元變7200元。

可能4:兩周都虧損

這個最慘,0.4×0.4=0.16,1萬剩下了1600元。

把四個結果相加,然后除以4,得到的結果是12100元,也就是這1萬元在兩周后可能得到的平均價值。

這其實也是以每周10%的速度獲得收益的結果,1萬×1.1×1.1=12100元。

那么,52周后,1萬×(1.10)?2,用excel算一下,1420000元!

但是,最有可能的結果是,這家公司的股價會在26個星期內上漲,在另外26個星期里下跌。

計算公式就是:1萬×1.82?×0.42?,結果1.95元!

用幾何平均數也會得到同樣的結果:1萬×(1-0.15)?2=1.95!

通過上面這一通劈里啪啦的計算后,我們可以得到一個結論:

收益率的算術平均數遠遠超過了收益率的幾何平均數。

而幾何平均數才是最有可能的收益,也就是中間位置的收益,在數學中被稱為中位數。

再簡單舉個更極端的例子。

一年時間里,你的投資在一半時間里每周翻一倍,另外一半時間里每周虧一半。

答案:一年后,最有可能的結果是不虧也不賺。

但是,用算術平均數一算,你每周獲利可以高達25%——[100%+(-50%)]/2,這意味著一年后,1萬×1.25?2,天!比10億還多!

而用幾何平均數核算則為:[(1+1)×(1-0.5)]的平方根再減去1,收益率為0。

當然,以上的例子估計百年也不遇,屬于相當極端不現實的。

但是,它們卻讓我們直接顛覆了直覺,解釋了為什么大多數投資者獲得的回報比一般水平更加糟糕,為什么一些基金公司只宣傳他們的平均收益率,而它是直接采用的是算術平均數。

本文由“坤鵬論”原創,轉載請保留本信息

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